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/cal/ - 微積分

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 No.32[回覆]



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 No.17[回覆]

可以說明一下藍框標示的地方是怎麼算出來的嗎? 謝謝

 No.31

被積函數是
`sin^2(2x) cos(2x)`

因為 `cos(2x)` 是 `sin(2x)` 的導函數的常數倍,所以設 `u = sin(2x)`

不過本題照他的做法會稍微雜一點。先把共同的 2 次提出來會比較好。
`sin^2 x cos^4 x = (sin(2x)/2)^2 ((1 + cos(2x))/2)`



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 No.18[回覆]

請問這樣運算是對的嗎?
如果是 原理是甚麼 ?
謝謝

 No.30

其實本來是
`(du)/(dx) = 2 cos(2x)`

不過一起對 x 積分的話,就變成
`int du = int 2 cos(2x) dx`

所以可以寫成 differential 的樣子。
`du = 2 cos(2x) dx`



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 No.12[回覆]

可以解釋一下這題的第一行是怎麼算出來的嗎

 No.13

部分分式分解不會用到微積分,反倒常在微積分中使用,因為可以把複雜的分式化為數個簡單分式的和。又因為微積分是線性算子,可以逐項分治。

首先,由貝祖等式 (Bézout's identity) 可以證明部分分式分解的有效性。也就是,存在 5 個實數 A, B, C, D, E 使得

`(6x^2 - 15x + 22) / ((x + 3) (x^2 + 2)^2) = A/(x+3) + (Bx + C) / (x^2 + 2) + (Dx + E) / (x^2 + 2)^2`. (1)

接著求這 5 個數。A 比較好求,因為 x + 3 沒有重複。將 (1) 式乘以 x + 3,

`(6x^2 - 15x + 22) / (x^2 + 2)^2 = A + (x+3) ((Bx + C) / (x^2 + 2) + (Dx + E) / (x^2 + 2)^2)`. (2)

將 (2) 中的 x 代換為 -3 就求出 A 了。

`A = (6(-3)^2 - 15(-3) + 22) / ((-3)^2 + 2)^2 = 1`.

餘下的 4 項顯然該交給多項式除法收拾。首先將 (2) 式減去 A, 也就是 1.
貼文太長了。點這裡查看全文。

 No.19

File: 1420295466165.jpg (79.81 KB, 608x558, 2015-01-03_222936.jpg)

可以解釋一下紅色框框內abcde是怎麼來的嗎?還有黃色底線那也不太懂,謝謝

 No.29

紅:他的解法是解五元一次方程組,但其實 A 可以藉由令 x = -3 解出。

黃:`x^2 + 2` 的導函數是 2x, 所以把分子拆成 `-(2x)/2 + 3` 兩項。



File: 1420384238569.bmp (446.3 KB, 906x168, 習題四、積分技巧解答-2.bmp)

 No.23[回覆]

積分符號上的4跟4除根號3為什麼會變成拍除3跟拍除6呢?
在那之後的式子都看不懂了

 No.28

因為 `x = 2 sec theta`,在把變數從 x 換成 `theta` 的時候範圍跟著換。

當 `x = 4 / sqrt 3` 時 `theta = pi/6`,而在 x = 4 時 `theta = pi/3`。

不過本題我覺得比較方便的做法是部份分式分解,畢竟分母已經幾乎完成因式分解了,除了一望即知的 `x^2 - 4 = (x+2)(x-2)`。

`1/(x^2 (x^2 - 4)) = -1/(16(x+2))-1/(4x^2)+1/(16(x-2))`



File: 1420296374165.jpg (39.42 KB, 601x437, 2015-01-03_224510.jpg)

 No.22[回覆]

可以解釋一下紅色框框怎麼算嗎?

 No.27

將分子的一次式除以 `2x + sqrt 2`,也就是分母中二次式的導函數,化一難為兩易。
`int (px + q) / (ax^2 + bx + c) dx = p/(2a) int (2ax + b) / (ax^2 + bx + c) dx + int (q - (bp)/(2a)) / (ax^2 + bx + c)
dx`

前者可以利用
`int (2ax + b) / (ax^2 + bx + c) dx = ln |ax^2 + bx + c|`



File: 1420296023436.jpg (41.47 KB, 630x441, 2015-01-03_223853.jpg)

 No.21[回覆]

可以解釋星號那是怎麼算出來的嗎?

 No.26

`d/dt tan t = sec^2 t = tan^2 t + 1`

反函數微分法則
`d/dx arctan x = 1 / (x^2 + 1)`

鏈鎖法則
`d/dx arctan(x/a) = a / (x^2 + a^2)`



File: 1420295846536.jpg (75.61 KB, 699x320, 2015-01-03_223645.jpg)

 No.20[回覆]

 No.25

(a) 機率是 `int_4^5 f(x) dx`

(b) 期望值是值乘以機率,所以是 `int_0^5 x f(x) dx`

計算對各位來說應該不是問題。:-)



File: 1419758645722.bmp (3.6 MB, 1483x848, 123.bmp)

 No.15[回覆]

第二題積分上加了無限符號後就不會了

 No.16

喔喔,2009 期末考。這一題我懷疑他是否在課程範圍內,但的確有解。其實 `e^(-x^2)` 的反導函數不是初等函數,俗稱「積不出來」。

設有二個可微函數 f, g, 則
`(f e^g)' = (f' + fg') e^g`

此外,因為多項式的導函數仍為多項式,所以假設 `e^(-x^2)` 是初等函數,必存在多項式 f 使得

`(f e^(-x^2))' = e^(-x^2)`

然而
`(f e^(-x^2))' = (f' - 2xf) e^(-x^2)`

這意味著 `(f' - 2xf) = 1`,但這是不可能的:

若 f 為常數函數,則 f' 為零。
貼文太長了。點這裡查看全文。



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 No.5[回覆]

如圖示
一個槓桿原理公式,g、X1、X2為固定常數,Θ為變動量,圖中的公式為計算角度所有變動量所計算出的P點作用力的和。

請問這個公式是否正確。

 No.8

抱歉,我看不懂這部機械的運作。請稍稍解釋它的機轉。

 No.9

X1是一個加力桿連接到圓心軸固定,g為一個向下施加的力,P為槓桿原理所得到的向上作用力,公式我編排錯了應該是P等於計算公式,想請問這個公式是否代表由Θ到0度的角度變化算出P點的作用力總和。

因為我記得積分公式可一用來算某個變化量計算出來結果的總和,所以想問問此公式的正確性。

我的表達能力可能有點差,請見諒。

 No.10

謝謝你,我看懂了。這個式子其實是不對的。

在任何一個時間點,p 點的作用力都是式中的被積函數。

`F_p = (X_1 g cos theta) / X_2`

當角度越來越小時,作用力也就越來越大。至於力對角度積分,我看不出有什麼物理意義。

比較像這條式子,又具有物理意義的積分式,我會選擇衝量,也就是力對時間積分。

`J = int (X_1 g cos theta) / X_2 dt`

其中 J 是衝量,t 是時間。

 No.11

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